设点P（a，a-2），要使∠APB最大，只要tan∠APB最大．
∵a=3时，∠APB=0，∴a＜3，3-a＞0，如图所示．
∵K_PA=

a−3

a+1

，k_PB=

a−3

a−1

，
tan∠APB=|

KPA−KPB

1+KPA•KPB

|=|

a−3 a+1 − a−3 a−1

1+ a−3 a+1 • a−3 a−1

|=|

(a−3)(a−1)−(a+1)(a−3)

(a+1)(a−1)+(a−3)2

|=|

3−a

a2−3a+4

|=|

3−a

(3−a)2−3(3−a)+4

|
=

1

(3−a)−3+ 4 3−a

≤

1

2 4 −3

=1，当且仅当3-a=2，即 a=1时，取等号．
∴∠APB的最大值为

π

4

，此时，点P的坐标为（1，-1）．