定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),求证:f(x)为奇函数.
人气:165 ℃ 时间:2020-04-03 20:47:34
解答
证明:令x=y=0,代入f(x+y)=f(x)+f(y)式,
得f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0.
令y=-x,代入f(x+y)=f(x)+f(y),
得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,则有
0=f(x)+f(-x).
即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,
所以f(x)是奇函数.
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