求证(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)≥(a1b1+a2b2)^2 利用韦达定理证明
人气:220 ℃ 时间:2020-06-20 12:27:36
解答
看这个不等式的形式,联想到b^2与ac的关系,接下来就构造一元二次方程.设(也就是看作)(a1^2+a2^2)为a,(b1^2+b2^2)为c,那么对应的(a1b1+a2b2)^2就为b^2/4了,不妨得到(也可以为负)b=2(a1b1+a2b2).构造一元二次方程,(a1^2+a2^2)x^2+2(a1b1+a2b2)x+(b1^2+b2^2)=0,展开这个方程,得到(a1x+b1)^2+(a2x+b2)^2=0,再根据这个方程解的情况,韦达定理得(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)>=(a1b1+a2b2)^2.有的时候数学命题的证明采取“存在式”的方法,也就是从一个角度去想,符合各个公理,那么这个命题就是成立的,存在的,从而不需要从每个方面去解释它,理解它.(a1b1+a2b2)^2就为b^2/4了,这个是什么意思?因为想证的是b^2与4ac的关系,左边是ac,右边就是b^2/4,对应的就是(a1b1+a2b2)^2,即设b^2/4=(a1b1+a2b2)^2,不是推出来的,而是构造出来的
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