已知定义在R上的奇函数f（x）,满足f（x-4）=-f（x）,且在区间[0,2]上是增函数,则（　　）A．f（-25）＜f（11）_数学解答

已知定义在R上的奇函数f（x）,满足f（x-4）=-f（x）,且在区间[0,2]上是增函数,则（　　）
A．f（-25）＜f（11）＜f（80）
B．f（80）＜f（11）＜f（-25）
C．f（11）＜f（80）＜f（-25）
D．f（-25）＜f（80）＜f（11）
解析：由f（x）满足f（x-4）=-f（x）可变形为f（x-8）=f（x）,得到函数是以8为周期的周期函数,则有f（-25）=f（-1）,f（80）=f（0）,f（11）=f（3）,再由f（x）在R上是奇函数,f（0）=0,得到f（80）=f（0）=0,f（-25）=f（-1）,再由f（x）在区间[0,2]上是增函数,以及奇函数的性质,推出函数在[-2,2]上的单调性,即可得到结论．
为什么由f（x）满足f（x-4）=-f（x）可变形为f（x-8）=f（x）?请解释这一步

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解答

在
f(x-4)=-f(x)(1)
中,用 x-4替换x,得
f(x-8)=-f(x-4) (2)
对比（1）（2）得
f(x-8)=-f(x-4)=-[-f(x)]=f(x)其他的不行！用x-4替换，是为了替换前后有联系，从而得出结论。比如：若已知 f(x+3)=-f(x)，则要用 x+3去替换x，得 f(x+6)=-f(x+3)当然是用定义判断f(x+T)=f(x)成立。上面用的是迭代法。下面再举一个例子。若 f(x+2)=1/f(x)，证明：f(x)是周期函数。证：在f(x+2)=1/f(x)中，用 x+2替换x，得 f(x+4)=1/(f(x+2)对比条件，得f(x+4)=1/f(x+2)=1/[1/f(x)]=f(x)从而 f(x)是以4为周期的周期函数。