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数学
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已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a
2
+4b
2
+9c
2
的最小值为______.
人气:140 ℃ 时间:2020-04-21 17:01:12
解答
∵a+2b+3c=6,
∴根据柯西不等式,得(a+2b+3c)
2
=(1×a+1×2b+1×3c)
2
≤(1
2
+1
2
+1
2
)[a
2
+(2b)
2
+(3c)
2
]
化简得6
2
≤3(a
2
+4b
2
+9c
2
),即36≤3(a
2
+4b
2
+9c
2
)
∴a
2
+4b
2
+9c
2
≥12,
当且仅当a:2b:3c=1:1:1时,即a=2,b=1,c=
2
3
时等号成立
由此可得:当且仅当a=2,b=1,c=
2
3
时,a
2
+4b
2
+9c
2
的最小值为12
故答案为:12
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