（1）假设存在这样的点Q；
∵PE⊥PC，
∴∠APE+∠DPC=90°，
∵∠D=90°，
∴∠DPC+∠DCP=90°，
∴∠APE=∠DCP，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△APE∽△DCP，
∴

AP

DC

=

AE

DP

，
∴AP•DP=AE•DC；
同理可得AQ•DQ=AE•DC；
∴AQ•DQ=AP•DP，即AQ•（3-AQ）=AP•（3-AP），
∴3AQ-AQ²=3AP-AP²，
∴AP²-AQ²=3AP-3AQ，
∴（AP+AQ）（AP-AQ）=3（AP-AQ）；
∵AP≠AQ，
∴AP+AQ=3
∵AP≠AQ，
∴AP≠

3

2

，即P不能是AD的中点，
∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在．
当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP+AQ=3．
（2）设AP=x，AE=y，由AP•DP=AE•DC可得x（3-x）=2y，
∴y=

1

2

x（3-x）=-

1

2

x²+

3

2

x=-

1

2

（x-

3

2

）²+

9

8

，
∴当x=

3

2

（在0＜x＜3范围内）时，y_最大值=

9

8

；
而此时BE最小为

7

8

，
又∵E在AB上运动，且AB=2，
∴BE的取值范围是

7

8

≤BE＜2．