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数学
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已知数列{a
n
}为等比数列.T
n
=na
1
+(n-1)a
2
+…+a
n
,且T
1
=1,T
2
=4
(1)求{a
n
}的通项公式.
(2)求{T
n
}的通项公式.
人气:486 ℃ 时间:2020-02-13 05:39:35
解答
(1)设等比数列{a
n
}的公比为q,则T
1
=a
1
,T
2
=2a
1
+a
2
=a
1
(2+q).
∵T
1
=1,T
2
=4,代入解得a
1
=1,q=2.
∴a
n
=2
n-1
.
(2)设S
n
=a
1
+a
2
+…+a
n
,则S
n
=1+2+…+2
n-1
=2
n
-1
∴T
n
=na
1
+(n-1)a
2
+…+2a
n-1
+a
n
=a
1
+(a
1
+a
2
)+…+(a
1
+a
2
+…+a
n-1
+a
n
)
=S
1
+S
2
+…+S
n
=(2-1)+(2
2
-1)+…+(2
n
-1)
=(2+2
2
+…+2
n
)-n=
2(1−
2
n
)
1−2
-n=2
n+1
-n-2
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