设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.
(1)证明B可逆.
(2)求AB-1.
人气:308 ℃ 时间:2019-10-23 02:33:56
解答
证明:
(1)
令:Eij表示单位阵中的第i行和第j行对换,
则由题意B=EijA,而Eij是初等矩阵,是可逆的,
又A是可逆的,
根据逆矩阵的乘积依然是可逆的,得:
B=AEij可逆.
(2)
∵B=EijA,
∴B-1=(EijA)-1=A-1•Eij-1=A-1Eij,(Eij的逆矩阵依然为本身)
从而:AB-1=A•A-1Eij=Eij.
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