设等比数列的公比为q，根据题意得：

a1≥1 a2=a1q≤2 a3=a1q2≥3 a4=a1q3

，
∴各不式的两边取常用对数，得

lga1≥0 lga1+lgq≤lg2 lga1+2lgq≥lg3 lga4=lga1+3lgq

令lga₁=x，lgq=y，lga₄=t
将不等式组化为：

x≥0 x+y≤lg2 x+2y≥lg3 t=x+3y

，
作出以上不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部
其中A（0，lg2），B（2lg2-lg3，lg3-lg2），C（0，

1

2

lg3）
将直线l：t=x+3y进行平移，可得
当l经过点A时，t=3lg2取得最大值；当l经过点B时，t=-lg2+2lg3取得最小值
∴t=lga₄∈[-lg2+2lg3，3lg2]，即lga₄∈[lg

9

2

，lg8]
由此可得a₄的取值范围是[

9

2

，8]
故答案为：[

9

2

，8]