已知正数数列(an)中,a1=2,若关于x的方程x^2-√a(n+1)x+1/2an+1/4=0有等跟,（1）求a2,a3（2）求_数学解答

已知正数数列(an)中,a1=2,若关于x的方程x^2-√a(n+1)x+1/2an+1/4=0有等跟,（1）求a2,a3
（2）求（an)的通项
(3)求证1/(1+a1)+1/(1+a2)+1/(1+a3)+……+1/(1+an)＜2/3

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解答

等跟
=>
b^2-4ac=0
=>
A(n+1)=4*(0.5An+0.25)
=>
A(n+1)=2An+1
=>
A(n+1)+1=2(An+1)
=>
An+1
=(A1+1)*2^(n-1)
=3*2^(n-1)
=>
An=3*2^(n-1)-1
1+An=3*2^(n-1)
=>
原式
=1/3*(1/1+1/2+1/4+...1/2^(n-1))
=(1/3)*1*(1-0.5^n)/(1-0.5)
=(2/3)*(1-0.5^n)
<2/3