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数学
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已知抛物线C:y
2
=2Px(p>0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设直线y=kx+b(k≠0)与抛物线C交于两点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),且|y
1
-y
2
|=a(a>0),求证:a
2
=
16(1−kb)
k
2
.
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解答
(Ⅰ)由抛物线定义,抛物线C:y
2
=2Px(p>0)上点P(4,y
0
)到焦点的距离等于它到准线
x=−
p
2
的距离,得
5=4+
p
2
,
∴p=2,
所以抛物线C的方程为y
2
=4x;
(Ⅱ)证明:由
y
2
=4x
y=kx+b
,得ky
2
-4y+4b=0,
当△=16-16kb>0,即kb<1且k≠0 时,
y
1
+
y
2
=
4
k
,
y
1
y
2
=
4b
k
,
由|y
1
-y
2
|=a,即
(
y
1
+
y
2
)
2
−4
y
1
y
2
=
16
k
2
−
16kb
k
=
a
2
,
所以
a
2
=
16(1−kb)
k
2
.
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