设直线的斜率为k,M（x1,y1),N（x2,y2).
已知F1（-1,0）,F2（1,0）,直线L过F1点,则直线的方程为y=k(x+1).
直线方程与椭圆方程联立,整理得（2k^2+1)x^2+4k^2x+2k^2-20=0
则x1+x2=-4k^2/(2k^2+1),y1+y2=k(x1+x2+2)=2k/(2k^2+1)
|向量F2M+向量F2N|^2=4*26/9,即|x1+x2-2,y1+y2|^2=4*26/9
把x1+x2,y1+y2整体带入,整理得5k^4-4k^2-1=0
解得k=1,k=-1
所以,直线的方程是x-y+1=0或x+y+1=0.