（1）若抛物线y=x²-（a+2）x+9的顶点在y轴上，得a=-2；（2分）
若抛物线y=x²-（a+2）x+9的顶点在x轴上，
由△=0，得a=4或a=-8．（4分）
（2）根据题意得a=4，此时抛物线为y=x²-6x+9．（5分）
解

y＝x+9 y＝x2−6x+9

，
得

x1＝0 y1＝9

，

x2＝7 y2＝16

；
所以A（0，9），B（7，16）．（7分）
①由于点P在直线y=x+9上，
因此设符合题意的点P的坐标为（t，t+9），
此时对应的点Q的坐标为（t，t²-6t+9），（9分）
由题意得PQ=（t+9）-（t²-6t+9）=6，
解得t=1或6．（11分）
由题意0＜t＜7，点P的坐标为（1，10）或（6，15）；（12分）
②设在线段AB上存在这样的点P，使得△ABQ∽△OAC，
∵∠BAQ=∠AOC=90°，分别过B，Q两点向y轴作垂线，垂足为E，H，
由∠BAQ=90°，注意到直线y=x+9与x轴所夹的锐角为45°，
由QH=AH可求得点Q的坐标为（5，4），但显然AB：AQ≠OA：OC，
∴△ABQ与△OAC不可能相似，（13分）
∴线段AB上不存在符合条件的点P．（14分）