(1)正方形ABCD中AB与CD平行,则设CD所在直线方程为：y=x+b,化成x=y-b代入抛物线方程得：y^2-y+b=0,则y1+y2=1,y1*y2=b,则由弦长公式可得CD=√2*√[（y1+y2）^2-4y1y2]
两直线AB与CD之间的距离为：|b-4|/√2,则|k-4|/√2=√2*√[（y1+y2）^2-4y1y2],即
|b-4|=2*√[（y1+y2）^2-4y1y2]=2*√[1-4b],解得b=-2或-6,
所以CD=3√2或5√2,所以正方形ABCD的面积为18或50.
(2)由图象可知这条直线的斜率肯定存在且不为0,设其为k ,则方程为：y-1=k(x-2),
将其代入y^2=16x得：y^2=16[（y-1)/k+2],即y^2-16y/k+16/k-32=0,则y1+y2=2=16/k,可解得k=8.
(3)点满足|Mp|=|Np|的P在MN的中垂线上,由线上要存在p点满足|Mp|=|Np|,则曲线要与MN的中垂线要有交点,MN的斜率为：1/2,中点为：（-3/2,0）则其中垂线为：y=-2(x+3/2)
即y=-2x-3,它与（2）（3）（4）中的曲线都有公共点.