设g(x)是定义在R上,以1为周期的函数,若函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域为[-2,5],则f(x)在区间[0,3]上的值域为 ___ .
人气:283 ℃ 时间:2019-08-18 15:26:51
解答
g(x)为R上周期为1的函数,则g(x)=g(x+1)
函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1](正好是一个周期区间长度)的值域是[-2,5]…(1)
令x+1=t,
当x∈[0,1]时,t=x+1∈[1,2]
此时,f(t)=t+g(t)=(x+1)+g(x+1)=(x+1)+g(x)=[x+g(x)]+1
所以,在t∈[1,2]时,f(t)∈[-1,6]…(2)
同理,令x+2=t,
在当x∈[0,1]时,t=x+2∈[2,3]
此时,f(t)=t+g(t)=(x+2)+g(x+2)=(x+2)+g(x)=[x+g(x)]+2
所以,当t∈[2,3]时,f(t)∈[0,7]…(3)
由已知条件及(1)(2)(3)得到,f(x)在区间[0,3]上的值域为[-2,7]
故答案为:[-2,7].
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