A^2=0 => A 的 Jordan 块只能是 1 阶或 2 阶
所以这里 A 的 Jordan 型在不计次序的情况下只有一种结构 (注意 A 非零)
J =
0 1 0
0 0 0
0 0 0
所以 A 就是所有形如 PJP^{-1} 的矩阵,P 取遍 3 阶可逆阵
当然,这个问题规模比较小,还可以把上述乘法乘出来进一步化简,得到 A = xy^T,其中 x 和 y 取遍满足所有 y^Tx=0 的列向量如果没学过 Jordan 型，3 阶的还能做，但是高阶大概不好办对 A 的秩进行分析，显然 A 的秩只能是 1 或者 2如果 rank(A) = 2，那么把 A^2 = 0 视作方程 AX=0 有非零解 A，但是 A 的解空间是 1 维的，不可能有两个线性无关解，矛盾，由此推出 rank(A) = 1既然 A 是秩 1 矩阵，那么可以写成 A = xy^T 的形式，其中列向量 x 和 y 都非零，再利用 A^2 = (y^Tx)A 得到 y^Tx=0反过来再验证一下满足 y^Tx=0 的所有非零向量 x 和 y 都可以用于生成满足条件的矩阵 A，原来的回答里没有写清楚“非零”列向量的要求