圆x²+y²-6x-2y+6=0化成标准方程，得（x-3）²+（y-1）²=4．
∴圆心为C（3，1），半径r=2．
当经过点P（1，-2）的直线与x轴垂直时，方程为x=1，恰好到圆心C到直线的距离等于半径，
此时直线与圆相切，符合题意；
当经过点P（1，-2）的直线与x轴不垂直时，设方程为y+2=k（x-1），即kx-y-k-2=0
由圆C到直线的距离d=r，得

|3k−1−k−2|

1+k2

＝2，解之得k=

5

12

此时直线的方程为y+2=

5

12

（x-1），化简得5x-12y-29=0．
综上所述，得所求的切线方程为x=1或5x-12y-29=0．
故答案为：x=1或5x-12y-29=0．