a的取值范围为(-2,+∞).
f(x)=x^2+alnx在[1,+∞)上单调递增,则当且仅当f(x)的1阶导数的在区间[1,+∞)为正值,df/dx=2x+a/x,df/dx>0,则2x+a/x>0,由x>0,故得
2x^2+a>0,a>-2x^2,
再由x>1,x^2>1,-2x^2<-2,即对任意x,均有-2x^2<-2,欲使a>-2x^2对任意x恒成立,则a>-2即可,即a的取值范围为(-2,+∞).