归纳—猜想—论证（里的一道习题）在数列｛an｝中,a1=1,an=2an-1+（n+2)/n（n+1) [n》2,n∈N*]猜想数_数学解答

归纳—猜想—论证（里的一道习题）
在数列｛an｝中,a1=1,an=2an-1+（n+2)/n（n+1) [n》2,n∈N*]
猜想数列｛an｝的通项公式an=f（n）,并用数学归纳法证明你的猜想.
这是高二数学第一分册的36的第三题,我想知道{an}的通项公式,感激不尽啊!

人气：336 ℃　时间：2020-10-01 13:50:31

解答

不用数学归纳帮你推一遍
首先是an=2an-1+（n+2)/n（n+1) 可以化成
an=2an-1+[(n+1)+1]/n(n+1)
an=2an-1+1/n+1/n(n+1)
an=2an-1+1/n+1/n-1/(n+1)
则有an+1/(n+1)=2(an-1+1/n)
{an+1/(n+1)}为等比数列,首项为3/2,公比为2
所以an=3*2^(n-2)-1/(n+1)
n为非零自然数