> 数学 >
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足
sinA
cosC
a
c

(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)求
3
sinA−cos(B+
π
4
)
的最大值,并求取得最大值时角A的大小.
人气:484 ℃ 时间:2020-02-04 01:15:27
解答
(Ⅰ)由正弦定理得
sinA
cosC
sinA
sinC

因为0<A<π,0<C<π.
所以sinA>0.从而sinC=cosC.
又cosC≠0,所以tanC=1,则C=
π
4
.…(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知B=
4
-A.
于是
3
sina−cos(B+
π
4
)
=
3
sina−cos(π−A)
=
3
sinA+cosA
=2sin(A+
π
6
)

因为0<A<
4
,所以
π
6
<A+
π
6
11π
12

所以当A+
π
6
π
2
,即A=
π
3
时,2sin(A+
π
6
)
取最大值2.
综上所述,
3
sinA−cos(B+
π
4
)
的最大值为2,此时A=
π
3
.…(9分)
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