已知A.B.C均在椭圆:(x^2)/a^2+y^2=1(a>1)上,直线AB.AC分别过椭圆的左右两焦点F1.F2,当向量AC*向量F1F2=0时,有9向量AF1*向量AF2=(向量AF1)^2
(1)求椭圆方程
(2)设P使椭圆上的任一点,EF为圆x^2+(y-2)^2=1的任意一条直径,求向量PE*向量PF的最大值
人气:434 ℃ 时间:2020-06-29 02:37:11
解答
(1)F1、F2为x轴上左右两个焦点,故由向量AC*向量F1F2=0知AC⊥F1F2且交F1F2于F2.焦点F2的横坐标为√(a^2-1),所以A、C的坐标分别为(√(a^2-1),1/a)、(√(a^2-1),-1/a).
向量AF1=(-√(a^2-1),0)-(√(a^2-1),1/a)=(-2√(a^2-1),-1/a)
向量AF2=(√(a^2-1),0)-(√(a^2-1),1/a)=(0,-1/a)
由9向量AF1*向量AF2=(向量AF1)^2得:9[-2√(a^2-1)*0+1/a^2]=4[(a^2-1)+1/a^2].解方程得a^2=(1+√6)/2.
所以,椭圆方程是2x^2/(1+√6)+y^2=1
(2)把P、E、F三点均用三角坐标来表示,其中由(1)得a=√[(1+√6)/2].有
P(acosα,sinα),E(cosβ,2+sinβ),F(-cosβ,2-sinβ),则
向量PE=(cosβ,2+sinβ)-(acosα,sinα)=(cosβ-acosα,2+sinβ-sinα)
向量PF=(-cosβ,2-sinβ)-(acosα,sinα)=(-cosβ-acosα,2-sinβ-sinα)
所以,向量PE*向量PF=(cosβ-acosα)(-cosβ-acosα)+(2+sinβ-sinα)(2-sinβ-sinα)=(1-a^2)(sinα)^2-4sinα+4+a^2
这是一个开口向下的抛物线,对称轴为sinα=2/(1-a^2)=-4(1+√6)/5
推荐
- 中心在原点,一个焦点为F1(0,50)的椭圆截直线y=3x-2所得的弦的中点的横坐标为1/2,求椭圆的方程.
- 有一个焦点在x轴上的椭圆,其离心率为e=√3/2,椭圆的上方有一点P(0,3/2),椭圆上有一点Q,已知PQ距离的最大值为√7,求这个椭圆的标准方程?(注:Q点不一定就是椭圆的最低点)
- 1.已知圆x^2+y^2=1,从这个圆上任意一点P向Y轴作垂线段pp',则pp'的中点M的轨迹方程?
- 已知X2/a2+Y2/b2=1,焦点于X轴上,左焦点为F,右焦点为A,点B在椭圆上,且BF垂直于X轴,AB交Y于P,若AP=2PB,求离心率
- 椭圆x^2/45+y^/20=1的焦点分别是F1和F2,过中心O作直线与椭圆交与A,B,若△ABF2的面积是20,直线AB的方程是________
- 一个三角形的底边为4m-2,高位2m+1,面积为S,试用含m的代数式表示S.当m=2时,求S的值
- 一个果园场有苹果2.4吨,比梨少3分之一,桔子比梨多20%,桔子多少千克?
- 植物除了光合作用之外,还有什么与动物不同
猜你喜欢
- Who cares对还是Who care对?正确的翻译是什么?
- Many people of that country sutffers from______ (hungry)顺便能翻译一下吗?
- 一张考试卷共有10道题,后面的每一道题的分值都比其前面一道题多2分.如果这张考卷的满分为100分,那么第八道题的分值应为多少?
- 在平面直角坐标系中,(x,y)都是整数,我们把他叫做整数点,y=x+1和y=kx-2(k为整数)的交点是整数点,k的值共几个?
- 学校,家,公园在平面上表示为ABC三点,家在学校的正东方向,公园在学校南偏西25°,那么在平面上COB等于
- 如图所示,一个质量m为2kg的物块,从高度h=5m、长度l=10m的光滑斜面的顶端A由静止开始下滑,那么,物块滑到斜面底端B时速度的大小是( ) A.10m/s B.102m/s C.100m/s D.200m/s
- 用式子表示:a的5倍除以b与c的和( )
- The food in the restaurant was delicious.将这句改为一般疑问句