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数学
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已知函数f(x)=2cos
2
ωx+2sinωxcosωx+1(x∈R,ω>0)的最小值正周期是
π
2
.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的最大值,并且求使f(x)取得最大值的x的集合.
人气:325 ℃ 时间:2019-12-02 02:24:00
解答
(Ⅰ)
f(x)=2•
1+cos2ωx
2
+sin2ωx+1
=sin2ωx+cos2ωx+2
=
2
(sin2ωxcos
π
4
+cos2ωxsin
π
4
)+2
=
2
sin(2ωx+
π
4
)+2
由题设,函数f(x)的最小正周期是
π
2
,可得
2π
2ω
=
π
2
,所以ω=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
f(x)=
2
sin(4x+
π
4
)+2
.
当
4x+
π
4
=
π
2
+2kπ
,即
x=
π
16
+
kπ
2
(k∈Z)
时,
sin(4x+
π
4
)
取得最大值1,
所以函数f(x)的最大值是
2+
2
,此时x的集合为
{x|x=
π
16
+
kπ
2
,k∈Z}
.
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