（1）∵二次函数f（x）=x2-16x+q+3的对称轴是x=8,
∴函数f（x）在区间[-1,1]上单调递减,
则函数f（x）在区间[-1,1]上存在零点须满足f（-1）•f（1）≤0．
即（1+16+q+3）（1-16+q+3）≤0,解得-20≤q≤12．
（2）假设存在常数q（0＜q＜10）,使得当x∈[q,10]时,f（x）的最小值为-51
∵f（x）=x2-16x+q+3=（x-8）2+q-61,x∈[q,10]
∴当0＜q＜8时,f（x）min=q-61=-51,∴q=10∉（0,8）；
当q≥8时,f（x）在区间[q,10]上单调递增,f（x）min=q2-15q+3=-51,解得q=6（舍去）或q=9
故存在常数q=9,使得当x∈[q,10]时,f（x）的最小值为-51．