设集合L{L|直线L与直线y=3x相交,且以焦点的横坐标为斜率},问(1).点P(-3,5)与集合L中的哪一条直线的距离最小?(2).设a属于(0,正无穷),点P(-3,a)与集合L中的直线距离最小值记为f(a),求f(a)的解析式
人气:187 ℃ 时间:2020-04-15 06:53:11
解答
设直线L与直线y=3x的交点坐标是(t,3t),则L方程是y-3t=t(x-t)
即有tx-y-t^2+3t=0
(1)点P(-3,5)到L的距离d=|-3t-5-t^2+3t|/根号(t^2+1)=(t^2+5)/根号(t^2+1)=根号(t^2+1)+4/根号(t^2+1)>=2*2=4
即距离最小是4.
(2)d=|-3t-a-t^2+3t|/根号(t^2+1)=(t^2+a)/根号(t^2+1)
现在就是说(t^2 + a)/根号(t^2+1)的最小值为d.你最好分情况讨论:
(1) a>=2时:
(t^2 + a)/根号(t^2+1)=
根号(t^2+1)+ (a-1)/根号(t^2+1)>= 2*根号(a-1)=f(a),等号可以取到.
t=根号(a-2)
(2) 1
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