非常基本的线性代数证明题1.设a1,a2,...,an是一组n维向量,已知n维单位坐标向量e1,e2,...,en能由它们线性表示_数学解答

1.考虑向量组A={a1,a2,...,an}的秩：它由n个向量组成,所以R(A)<=n；向量组E={e1,e2,...,en}可由A线性表示,所以R(E)<=R(A),再由{e1,e2,...,en}是R^n的一组基可知R(E)=n,所以R(A)>=n.综合可知R(A)=n.A由n个向量组成,且秩为n,所以这n个向量线性无关.
2.假设它们线性无关,则向量组A={a1,a2,...an}的秩为n,所以是R^n的一组基（因为R^n的维数也是n）,所以任一n维向量都可由它们线性表示.
假设任一n维向量都可由它们线性表示,则特别地,n维单位坐标向量{e1,e2,...,en}可由它们线性表示,再由1即知它们线性无关.
3.假设R(K)假设向量组B线性相关,则存在不全为零的x1,x2,...,xr使得x1*b1+x2*b2+...+xr*br=0.记x=(x1,x2,...,xr),则上式说明Bx=0,所以(AK)x=A(Kx)=0.但向量组A线性无关,所以必有Kx=0.这说明方程组Kx=0（x是r维向量）有非零解,知R(K)综合可知向量组B线性相关的充要条件是R(K)