设这个自然数为x，a、b、c为自然数，A为常数
因为这个数除300，243，205时，得到相同的余数
所以ax+A=300（1）；
bx+A=243（2）；
cx+A=205（3）；
（1）-（2）得，（a-b）x=57，
（2）-（3）得，（b-c）x=38，
（1）-（3）得，（a-c）x=95，
因为57=3×19，38=2×19，95=5×19均不可再分，
所以这个数是19，余数为15．
故答案为：19．