很容易,只需要证明正整数集的幂集和[0,1)等势即可.
1.对[0,1)中的任何实数,将其唯一地表示成2进制下的无限小数,若小数有限则规定用0补全,在这种表示下[0,1)中的每个实数都对应于正整数集的一个子集(注意,这个是单射,但不满).从而[0,1)的势不超过正整数集的幂集的势.
2.反过来,正整数集的任一子集可以对应于一个[0,1)中的3进制无限小数,这个也是单射,但不是满射.
结合1,2,利用Cantor-Bernstein定理,正整数集的幂集和[0,1)等势.