∵k是一元二次方程x²-3x+1=0的一个根，
∴k²-3k+1=0，
∴k²=3k-1，k²+1=3k．
设方程的另一根为x₂，由根与系数的关系可得
k+x₂=3，k•x₂=1，
∴x₂=

1

k

，k+

1

k

=3．
∴k²-2k+

3

k2+1

=3k-1-2k+

3

3k

=k-1+

1

k

=3-1=2．