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已知f(x)=(x2+ax+a)e-x(a≤2,x∈R).
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)是否存在实数a,使f(x)的极大值为3?若存在,求出a的值,若不存在,说明理由.
人气:298 ℃ 时间:2019-12-01 06:37:42
解答
(1)当a=1时,f(x)=(x2+x+1)e-x;f′(x)=e-x(-x2+x)(2分)
当f′(x)>0时,0<x<1.当f′(x)<0时x>1或x<0
∴f(x)的单调递增区间为(0,1),
单调递减区间为(-∞,0)(1,+∞)(4分)
(2)f′(x)=(2x+a)e-x-e-x(x2+ax+a)=e-x[-x2+(2-a)x](6分)
令f′(x)=0,得x=0或x=2-a,列表如下:

由表可知f(x)极大=f(2-a)=(4-a)ea-2(8分)
设g(a)=(4-a)ea-2,g′(a)=(3-a)ea-2>0(10分)
∴g(a)在(-∞,2)上是增函数,∴g(a)≤g(2)=2<3∴(4-a)ea-2≠3
∴不存在实数a使f(x)最大值为3.(12分)
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