C1,圆心(-2,3m+2),
C2的圆心就是此点关于y=x+m+2的对称点
设C2圆心(a,b)
则过两圆心的直线垂直于y=x+m+2,且两圆心的中点在y=x+m+2上
y=x+m+2斜率是1
所以过两圆心的直线斜率是-1
(b-3m-2)/(a+2)=-1
a+b=3m
两圆心的中点在y=x+m+2上
(b+3m+2)/2=(a-2)/2+m+2
a-b=m+2
所以a=2m+1,b=m-1
对称的圆半径不变
所以C2:(x-2m-1)^2+(y-m+1)^2=4m^2
C2的圆心的坐标x=2m+1,y=m-1
m=y+1
x=2(y+1)+1
x-2y-3=0
所以圆心在x-2y-3=0这条直线上
所以C2所表示的一系列圆的公切线应该是和x-2y-3=0平行且直线距离等于半径的直线
所以公切线是x-2y+k=0
圆心(2m+1,m-1)
到直线的距离=|2m+1-2m+2+k|/√(1^2+2^2)=|k|/√5
半径=2|m|
|k|/√5=2|m|
k=±2√5m
所以公切线有两条
x-2y+2√5m=0
x-2y-2√5m=0