设g(u)=( ∫(0~u)f(x)dx)^2- ∫(0~u)f(x)^3dx,0=0,则f(u)单增,f(0)=0,则f(u)>=0
下面将中括号里的部分设为一个新的函数h(u)=2∫(0~u)f(x)dx-f(u)^2
h'(u)=2f(u)-2f(u)f '(u),由于f(u)>=0,00
因此h(u)为单增函数,由h(0)=0知,h(u)>=0
因此g'(u)=f(u)h(u)>=0,则g(u)单增
g(1)>=g(0)=0
则( ∫(0~1)f(x)dx)^2- ∫(0~1)f(x)^3dx>=0
即原式成立