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设f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)上可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,证明:
(1)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η
(2)对任意实数λ,必存在一点ξ∈(0,η),使f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1
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人气:474 ℃ 时间:2020-04-23 20:03:47
解答
(1)证明:构造函数g(x)=f(x)-x,由于设(x)在闭区间[0,1]上连续,显然,
g(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)上可导,
g(1/2)=f(1/2)-1/2=1/2>0
g(1)=f(1)-1=-1 (f(ξ)-ξ)'=λ*(f(ξ)-ξ)
=>f'(ξ)-1=λ*(f(ξ)-ξ)
即f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1
证毕~
注:f'(ξ)表示f(x)在x=ξ处的倒数
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