长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连接BD，则∠D₁BD 为所求，
Rt△D₁BD中，tan∠D₁BD=

D1D

BD

=

1

3

=

3

3

，
∴∠D₁BD=30°，
则BD₁与平面A₁B₁C₁D₁所成的角的大小为30°，
故答案为30°．