求一个例子:一个函数连续,且可偏导,但是不可微
人气:481 ℃ 时间:2020-02-05 17:04:22
解答
f﹙x,y﹚=xy/﹙x²+y²﹚﹙x,y﹚≠﹙0,0﹚时
=0 ﹙x,y﹚=﹙0,0﹚时
连续,偏导存在,dz在(0,0)点不存在这个原函数好像不连续吧,取x=y时当x趋近0为1/2恩,是我错了,那这个呢?z=﹙x+y﹚^﹙1/3﹚这个连续,偏导存在,(0.0)全微分不存在这个在(0,0)处可有偏导?好像没有偏导哦,因此它是不可微的,是吧被你这么一说好像又错了,我都糊了。但下面这个绝对没错,我刚翻书了,是书上的例子f﹙x,y﹚=xy/√﹙x²+y²﹚x²+y²≠0时 =0x²+y²=0时连续偏导存在fx﹙0,0﹚=fy﹙0,0﹚=0Δz-[fx﹙0,0﹚·Δx+fy﹙0,0﹚·Δy]=Δx·Δy/√[﹙Δx﹚²+﹙Δy﹚²]但当﹙Δx,Δy﹚沿直线y=x趋于﹙0.0﹚时﹛Δx·Δy/√[﹙Δx﹚²+﹙Δy﹚²]﹜/ρ=Δx·Δy/[﹙Δx﹚²+﹙Δy﹚²]=1/2他不能随ρ趋于0而趋于0,这表示ρ趋于0时,Δz-[fx﹙0,0﹚·Δx+fy﹙0,0﹚·Δy]并不是ρ的高阶无穷小,所以(0,0)点全微分不存在
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