设A是n阶方阵,若有正整数k,使得A^k=E,证明A相似于对角矩阵
人气:405 ℃ 时间:2020-04-25 04:31:36
解答
因为 A^k = E 所以 A可逆,即A的特征根非零.
如果A不可对角化,根据亚当标准型,存在 两个非零向量 x1,x2,及一个非零特征根a,使得:
Ax2 = a x2,Ax1 = ax1 + x2.
则:
A^2x1 = A(ax1 + x2) = a^2 x1 + 2ax2
A^3x1 = A(a^2x1 + 2ax2) = a^3 x1 + 3a^2 x2
.
A^k x1 = A(a^(k-1)x1 + (k-1)a^(k-2)x2) = a^k x1 + ka^(k-1)x2
A^k = E ==> A^k x1 = x1,===> ka^(k-1) = 0,矛盾!
所以A可以对角化,即A相似于对角矩阵
推荐
- 若存在正整数m,使得A^m=E,这里的E为单位矩阵,A为n阶方阵,证明A相似于对角型矩阵
- 试证明满足A^m=I的n阶矩阵A(其中m是正整数)相似于对角矩阵.
- 设A是n阶非0矩阵,如果存在一正整数k使得A^k=0,证明A不可能相似于对角矩阵.
- 设A为n阶方阵,对其正整数k>1,A^k=0,证明:(E-A)^(-1)=E+A+A^2+,+A^(k-1)
- 设A为n阶矩阵,且A不是零矩阵,且存在正整数k≥2,使A^k=0,证明:E-A可逆,且(E-A)=E+A+A^2+……A^k-1
- 请问谁有小学六年级上册的语文数学重点知识?
- 英语翻译
- 填单词补对话
猜你喜欢