已知椭圆GX^2\4+Y^2=1,点(m,0)做圆X^2+Y^2=1的切线交椭圆于A B两点,若|AB|=2 ,求m的值
人气:331 ℃ 时间:2020-05-14 09:39:25
解答
没想到有什么简单的方法,硬算吧
首先讨论一下切线斜率是否存在
若切线斜率不存在,则必有m=1或-1,则易算得|AB|=√3,不满足
若切线斜率存在,设切线y=k(x-m),设A(x1,y1) B(x2,y2)
由相切知,圆心到切线距离等于半径,即:|km|/√(1+k²)=1
得到:m²k²=k²+1 (1)
然后联立直线和椭圆:
(1+4k²)x²-8k²mx+4k²m²-4=0
韦达定理得:x1+x2=8k²m/(1+4k²)
x1x2=(4k²m²-4)/(1+4k²)
|AB|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
=√(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]
=√(1+k²)[ [64k⁴m²/(1+4k²)²]-[4(4k²m²-4)/(1+4k²)] ] (1)带入得到
=(4√3|m|)/(m²+3) (2)
=2
则解得m=±√3
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