90°.
在BD上取中点F,连接A1F、FE、A1E.由于A1B=A1D,F为BD中点,所以在等腰△A1BD中,底线BD的中线A1F垂直BD；同理,BE=DE,所以EF垂直于BD,故二面角A1-BD-E的大小等于角A1FE的角度.
设正方体边长为 n .在直角△A1AF中,A1F²=A1A²+AF²=A1A²+（1/2AC）²=n²+1/4*2n²=3n²/2；
同理得EF²=3n²/4；A1E²=9n²/4.
由于A1F²+EF²=3n²/2 + 3n²/4 =9n²/4 = A1E²,所以角A1FE=90°,即二面角A1-BD-E的大小为90°.