因为二次函数y=x²+2ax+b=（x+a）²+b-a²，
所以函数的对称轴为x=-a，且函数在[-a，+∞）上单调递增．
所以要使二次函数y=x²+2ax+b在[-1，+∞）单调递增，
则-a≤-1，即a≥1．
故选A．