x²+2x+c+2=x²+2x+1+（c+1）=（x+1）²+（c+1），
由题意得x²+2x+c+2≠0，
∴（x+1）²+（c+1）≠0，
又∵（x+1）²≥0，
∴c+1＞0，
解得c＞-1．
∴当c＞-1时，分式

1

x2+2x+c+2

不论x取任何实数总有意义．
故答案为c＞-1．