由题意设g（x）=1+

2

2x−1

=

2x+1

2x−1

，且定义域是{x|x≠0}，
∵g（-x）=

2−x+1

2−x−1

=

1+2x

1−2x

=-g（x），∴g（x）=1+

2

2x−1

是奇函数，
又函数F（x）=（1+

2

2x−1

）•f（x）是偶函数，且f（x）不恒等于0，
∴f（x）是奇函数，
故选A．