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数学
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等腰直角三角形OAB内接于抛物线y
2
=2px(p>0),O是抛物线的顶点,OA⊥OB,则△OAB的面积为 ___ .
人气:445 ℃ 时间:2020-04-17 20:44:25
解答
设等腰直角三角形OAB的顶点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则
y
1
2
=2px
1
,
y
2
2
=2px
2
,
由OA=OB得:
x
1
2
+
y
1
2
=
x
2
2
+
y
2
2
,
∴
x
1
2
-
x
2
2
+2px
1
-2px
2
=0,即(x
1
-x
2
)(x
1
+x
2
+2p)=0,
∵x
1
>0,x
2
>0,2p>0,
∴x
1
=x
2
,即A,B关于x轴对称.
∴直线OA的方程为:y=xtan45°=x,由
y
2
=2px
y=x
解得
x=0
y=0
或
x=2p
y=2p
,
故AB=4p,
∴S
△OAB
=
1
2
×2p×4p=4p
2
.
故答案为:4p
2
.
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