已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2(a_数学解答

解答:（1）将y=-x+1,代入b²x²+a²y²=a²b²,
b²x²+a²(-x+1)²=a²b²,即（b²+a²）x²-2a²x+a²-a²b²=0,
x1+x2=2a²/（b²+a²）,x1•x2=（a²-a²b²）/（b²+a²）,
∵OP⊥OQ,∴x1•x2+y1•y2=0,
即x1•x2+（x1-1）•（x2-1）=0
∴2x1•x2-（x1+x2）+1=0,
∴2a²-2a²b²-2a²+b²+a²=0,
得,b²+a²=2a²b²,即1/a²+1/b²=2,
（2）e²=1-a²/b²=1+1/(1-2a²),
∵1/2≤e²≤3/4, ∴3≤2a ²≤5,
∴长轴范围是√6≤2a ≤√10.
设直线AB方程为y=kx+m, 代入b²x²+a²y²=a²b²,
得,(b²+a²k²)x²+2kma²x+a²m²-a²b²=0,
∴(x1+x2)/2=-kma²/(b²+a²k²),
(y1+y2)/2=k(x1+x2)/2+m=mb²/(b²+a²k²),
直线AB的中垂线方程为,
y- mb²/(b²+a²k²)= -1/k•[x+kma²/(b²+a²k²)],
令y=0得,x0=km(b²-a²)/(b²+a²k²),
又∵∆= 4k²m² a^4-4(b²+a²k²)a²(m²-b²)>0,
得, m²x0²=k²m² (b²-a²)² /(b²+a²k²)²< k² (b²-a²)² /(b²+a²k²)
= (b²-a²)² /(b²/k²+a²)<(b²-a²)² /a²,
∴x0的取值范围是：-(a²-b²)/a