已知数列{an}的前n项和为Sn,对任何正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,且在点Pn(n,Sn)处的切线的斜率为Kn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=2Knan,求数列{bn}的前n项和Tn.
人气:308 ℃ 时间:2019-10-11 14:06:51
解答
(1)∵点P
n(n,S
n)都在函数f(x)=x
2+2x的图象上,
∴S
n=n
2+2n(n∈N
*).…(3分)
当n=1时,a
1=S
1=1+2=3;
当n≥2时,a
n=S
n-S
n-1=n
2+2n-[(n-1)
2+2(n-1)]=2n+1 ①
当n=1时,a
1=3也满足①式.
∴数列{a
n}的通项公式为a
n=2n+1.…(6分)
(2)由f(x)=x
2+2x求导可得f′(x)=2x+2.
∵过点P
n(n,S
n)的切线的斜率为K
n,
∴K
n=2n+2.…(8分)
又∵bn=2Kn•an,
∴b
n=2
2n+2(2n+1)=4(2n+1)•4
n,
∴T
n=4×3×4
1+4×5×4
2+4×7×4
3+…+4(2n+1)•4
n ①
由①×4得:∴4T
n=4×3×4
2+4×5×4
3+4×7×4
4+…+4(2n+1)•4
n+1 ②
①-②得-3T
n=4×(3×4+2×4
2+2×4
3+…+2×4
n-(2n+1)4
n+1)
=4×(12+2×
-(2n+1)4
n+1)=
−×(6n+1)4n+1所以 T
n=
×(6n+1)44n+1−…(12分)
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