分别以DA、DC、DD₁为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系
设正方体的棱长等于2，则
D（0，0，0），A₁（2，0，2），M（0，2，1），N（1，2，2）
∴

MN

＝(1，0，1)，

DA 1

＝(2，0，2)
可得

MN

＝

1

2

DA1

，得到MN∥DA₁
∵MN⊄平面A₁BD，DA₁⊂平面A₁BD，
∴MN∥平面A₁BD．