∵a=2010m+2009，b=2010m+2010，c=2010m+2011，
∴a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，
∴（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²
=（-1）²+（-1）²+2²
=1+1+4
=6．
故答案为：6．