已知在三角形A,B,C中,AB=2,BC=4,角ABC=120°.平面内ABC外一点P满足PA=PB=PC=4,则三棱锥P-ABC_数学解答

已知在三角形A,B,C中,AB=2,BC=4,角ABC=120°.平面内ABC外一点P满足PA=PB=PC=4,则三棱锥P-ABC的体积是

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解答

因为PA=PB=PC=4,
所以点P在平面ABC的射影为三角形ABC的外心O,
因为AB=2,BC=4,∠ABC=120°,
根据c^2=a^2+b^2-2ab*cosC可得AC=2√7,
所以OA=OB=OC=R=AC/2*sin∠ABC=2√21/3,
则三棱锥的高PO=√（PA^2+OA^2）=2√57/3,
所以三棱锥P-ABC的体积为（1/3）*S△ABC*PO=（1/3）*（1/2）*AB*BC*sin∠ABC*PO=4√19/3