已知:如图,圆O:交x^2+y^2=2交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为√2/2 的椭圆,其左焦点为F,
若P是圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆的左准线l于点Q.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点P的坐标为(1,1),
①求线段PQ的长;
②求证:直线PQ与圆O相切;
人气:298 ℃ 时间:2020-04-01 05:07:54
解答
圆的方程
x²+y²=2
半径=√2
所以椭圆a=√2
e=c/a=√2/2=1/√2
c=1
b²=a²-c²=2-1=1
椭圆方程:x²/2+y²=1
左焦点(-1,0)左准线x=-2
直线PF的斜率=(1-0)/(1+1)=1/2
因为Kpq×Kpf=-1
所以直线PQ的斜率=-2
那么PQ:y=-2x
与x=-2联立
y=4
那么点Q(-2,4)
PQ=√(1+2)²+(1-4)²=3√2
证明:直线OP斜率=(1-0)/(1-0)=1
直线PQ的斜率=(1-4)/(1+2)=-1
Kop×Kpq=-1
也就是OP垂直PQ,命题成立
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