F是m*r的列满秩矩阵,G是r*n的行满秩矩阵,证明F*G的秩=r.这好像是m*n矩阵的满秩分解的逆问题,可以想象是这样,不过我需_数学解答

F是m*r的列满秩矩阵,G是r*n的行满秩矩阵,证明F*G的秩=r.
这好像是m*n矩阵的满秩分解的逆问题,可以想象是这样,不过我需要严格的证明,哪位砖家能给点提醒,
不太清楚一楼的回复中对F和G的分解用的是什么方法？

人气：133 ℃　时间：2019-10-24 03:20:50

解答

用一下相抵标准型就行了.
存在阶数分别为m,r,r,n的可逆矩阵P1,Q1,P2,Q2,使得
F=P1[I_r,0]Q1
G=P2[I_r;0]Q2
那么FG=P1[Q1P2,0;0,0]Q2
补充：
这个不是最基本的相抵变换吗,可以用Gauss消去法实现
对任何矩阵A,总存在可逆阵P,Q使得
PAQ=
I 0
0 0