直线将平面分成区域最多的时候,应是直线两两相交且无三线共点.
设n条直线将平面最多分成f(n)个区域.则f(1)=2.
现有n条直线时,有区域f(n)块.
增加一条直线时,有n+1条直线.第n+1条直线与前面的n条直线都相交,有n个交点,它将第n+1条直线分成n+1段,而每一段又将相应的区域一分为二,即增加了n+1块区域.
于是,f(n+1)=f(n)+n+1.
所以,f(n)=f(n-1)+n
f(n-1)=f(n-2)+n-1
f(n-2)=f(n-3)+n-2
……
f(3)=f(2)+3
f(2)=f(1)+2
相加得f(n)=n+(n-1)+(n-2)+…+2+f(1)=n(n+1)/2+1
f(5)=16,f(10)=56.
因此,5条直线最多可将一个平面分成16个区域,10条直线最多可将一个平面分成56个区域.