化简直线kx-y+3k=0，可得y=k（x+3），
∴直线经过定点P（-3，0），斜率为k．
又∵点P满足（-3）²+0²＜16，
∴点P是圆x²+y²=16内部一点．
∵直线经过圆x²+y²=16内部一个定点，
∴不论k为何值，直线kx-y+3k=0和圆x²+y²=16都相交．
故选：A